ご紹介して頂いたサイトにべつの方法が載っています。マチンの公式というようです。
前半の（４/５-４/（３＊５３）＋…）の各項を第一項、後半の（１/２３９-１/（３＊２３９３）＋…）の各項を第二項と呼ぶと
一番左の最初の列には奇数（２ｎ＋１）を、１から入力します。
その隣の列は=4/(A5*5^A5)のように第一項の各項を計算します。
そのまた隣の列は累積に第一項を足すのか引くのかを、行番号が偶数か奇数かで変えています。
=IF(MOD(ROW(A5), 2)=0,B5+C4,-B5+C4)
その隣の列は=1/(A5*239^A5)のように第二項の各項を計算します。
そのまた隣の列は累積に第一項を足すのか引くのかを、行番号が偶数か奇数かで変えています。
=IF(MOD(ROW(C5), 2)=0,D5+E4,-D5+E4)
最後の列は４倍しています。
表示はエクセルの有効数字が判るように小数点以下２０桁を表示しています。有効数字１５桁以下は０になってしまいます。
さすがに収束が早く２ｎ＋１が１１以上では変わりません。